柏启明，黄兴友，薛慧丽，李洪毅
(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)
从经济角度出发，部分因析设计被广泛应用于工农业等领域，其关键是如何从完全因析设计中挑选试验点.部分因析设计可分为正规设计与非正规设计.正规部分因析设计主要是利用最大分辨度准则和最小低阶混杂准则来衡量部分因析设计的优良性[1-2].对于非正规部分因析设计，通常使用广义最小低阶混杂准则、正交性准则、设计效率准则和最小低阶投影均匀性准则筛选最优非正规部分因析设计[3-6].与正规部分因析设计相比，非正规部分因析设计试验次数更灵活，成本更低，运用更广泛.
均匀设计是由方开泰和王元于20世纪70年代末提出的一种试验设计方法[7-8]，它要求试验点在试验区域内均匀散布.关于均匀设计的研究已获得丰富的成果[9-10].基于因子效应的稀疏原则，低维投影的均匀性非常重要，因此许多学者讨论了设计的低维投影的均匀性[11-14].例如，针对二水平设计，Zhang等[11]讨论了均匀性模式分别与B向量及广义字长型之间的解析关系；
在中心化L2-偏差下，Qin等[12]讨论了二水平最小低阶投影均匀设计的设计效率，发现最小低阶投影均匀性准则与设计效率准则在设计的强度为2时等价.而在实际试验中，二水平设计已不能满足试验需求，因此有必要研究更高水平设计的投影均匀性与设计效率的关系.
1.1 正交表
对于一个具有n次试验、s个三水平因子的设计，若每个水平数在每个因子中出现相同次数，则称该设计为U-型设计，这种设计的集合记为U(n;3s).对于任意设计d∈U(n;3s)，若在设计d中任意t列的所有水平组合在所有n×t子矩阵中出现的频率相等，则称设计d是强度为t的正交表，记为OA(n;3s，t).特别地，t=2时的正交表称为正交设计，t=1时的正交表就是一个U-型设计.
1.2 广义最小低阶混杂准则
对于设计d∈U(n;3s)，a，b是d中的任意2行，记设计d中行a与行b之间的重合数为δab，即a，b行之间对应位置为相同元素的位置个数.dH(a，b)=s-δab，为设计d的行a与行b之间的Hamming距离.对于j=0，1，…，s，定义
称向量(E0(d)，…，Es(d))为设计d的距离分布.记|Ω|表示集合Ω的秩.
根据距离分布，Xu等[3]给出了设计d的广义字长型Ai(d)，
广义最小低阶混杂准则是选择设计d使得序贯最小化向量(A1(d)，…，As(d)).由Krawtchouk多项式的正交性，有
1.3 正交性准则
对于任意设计d∈U(n;3s)，其任意一个处理组合记为e=(e1，…，es)，其中ei=0，1，2，i=1，…，s.记V为所有v=3s个处理组合构成的集合.对于∀e∈V，记yd(e)为设计d中出现处理组合e的次数，yd为yd(e)按字典顺序排列得到的v×1维列向量.
记Ω为所有二值的s元组构成的集合.对于∀x=(x1，…，xs)∈Ω，定义矩阵
Γ(x)=L(x1)⊗…⊗L(xs)，
其中⊗为Kronecker积，Γ(x)的阶数为v×v.对于i=0，1，…，s，记Ωi为Ω中恰好含有i个1元素构成的集合，定义
称(B1(d)，B2(d)，…，Bs(d))为设计d的B向量.B1(d)，B2(d)，…，Bs(d)度量了设计d与正交设计随强度递增时的距离.正交性准则是选择设计d使得序贯最小化B向量(B1(d)，B2(d)，…，Bs(d))[4].
1.4 最小低阶投影均匀性准则
设计d∈U(n;3s)可看作一个矩阵(xij)n×s，其中xij=0，1，2，i=1，2，…，n，j=1，2，…，s.记Jg={u={u1，…，ug}|u⊆{1，…，s}，|u|=g}为{1，2，…，s}中的所有秩是g的子集构成的集合，其中g=1，2，…，s.Jg中的任一元素u={u1，…，ug}唯一的对应于设计d的一个投影到因子u1，…，ug的g维子设计，记为du.设计d的u-投影中心化L2-偏差记为CDu(d)，
基于中心化L2-偏差，给出如下三水平设计的均匀性模式：
(2)
1.5 设计效率准则
记
对于任一h，Eh值越小，设计d的设计效率越高.设计效率准则是在效应稀疏原则下要求对于每一个h，特别是较小的h，对应的Eh值较小[5].
以下引理给出了三水平设计d的广义字长型与均匀性模式之间的关系：
引理1[13]对于任意设计d∈U(n;3s)，1≤g≤s，有
(3)
(4)
下面的定理给出了三水平设计的B向量与均匀性模式之间的解析关系：
定理1对于任意设计d∈U(n;3s)，1≤g≤s，有
(5)
(6)
从(5)式不难看出，设计d的均匀性模式可用B向量线性表示且Bi(d)的系数为非负数.这说明，对于任意设计d∈U(n;3s)，最小低阶投影均匀性准则等价于正交性准则.
为了获得最小低价投影均匀设计的设计效率，给出如下引理：
引理2[5]设d∈U(n;3s)是一个强度为2的正交设计，则对于1≤h≤H，有
(7)
下面的定理给出了强度为2的三水平正交设计的设计效率与均匀性模式之间的关系：
定理2设d∈OA(n;3s，2)，则对于1≤h≤H，有
(8)
其中
(9)
(10)
将(9)，(10)式代入(7)式，定理2成立.证毕.
推论1设d∈OA(n;3s，3)，则对于1≤h≤H，有
注2推论1表明，对于强度为3的三水平正交表，最小低阶投影均匀性准则与设计效率准则是完全等价的.
在度量和搜寻最小低阶投影均匀设计中，设计均匀性模式的下界起着重要的作用.基于中心化L2-偏差，笔者给出了三水平设计均匀性模式紧的下界.
对于任意设计d∈U(n;3s)，u∈Jg，1≤g≤s，由文献[13]有
因此，设计d的均匀性模式可表示为
(11)
为了得到设计d均匀性模式的下界，给出如下引理：
引理3[14]对于任意设计d∈U(n;3s)，u∈Jg，1≤g≤s，有
下面的定理给出了三水平设计均匀性模式的下界：
定理3对于任意设计d∈U(n;3s)，u∈Jg，1≤g≤s，有
其中
证明由(11)式有
由引理4有
证毕.
表1 数值结果
从表1可知，设计d1的强度为3，d2，d3的强度为2，这3个设计按最小低阶投影均匀性准则、广义最小低阶混杂准则、正交性准则和设计效率准则排序的结果完全一致，即d1在这些准则下最优，d2其次，d3最差.
例2考虑设计d4∈U(9;33)和d5∈U(6;35)，
设计d4和d5的均匀性模式及其下界见表2.
表2 设计d4和d5的均匀性模式及其下界
基于中心化L2-偏差，主要研究了三水平设计的设计效率与投影均匀性之间的关系，发现对于三水平强度为3的正交表，最小低阶投影均匀性准则等价于设计效率准则，同时还获得了三水平设计均匀性模式紧的下界，该下界可以作为搜寻最小低阶投影均匀设计的基准.本研究的对象主要是三水平设计，笔者接下来会讨论更一般的情况，特别是q水平和混水平设计.
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