摘要：本文研究了在以逝品企业产品价格外生时的动态最优广告投入策略，考虑了广告投入的长远影响。建立了以广告投入策略为决策变量的最优控制模型，并且考虑了企业的预算约束。利用极大值原理得到了计划周期内的最优的广告投入策略。最后给出了数值算例，验证了模型的有效性。
Abstract： In this paper， a dynamic advertising model is constructed with exogenous price and considering the long effect of advertising on firms" profits and budget constraints. The demand function is determined on the exogenous price and the goodwill of products. The optimal advertising strategy is obtained by solving an optimal control model with maximum principle. Finally， a numerical example is given to illustrate effectiveness of this method.
关键司：价格外生；动态广告；最优控制
Key words： exogenous price；dynamic advertising；optimal control
中图分类号：F713.8 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2019）02-0024-03
0 引言
随着经济的发展，经济全球化的程度越来越高，企业之间的竞争也越来越激烈。在激烈的市场竞争中，企业要想获得较高的市场份额， 就必须依靠产品创新，不断提高产品的竞争力。那么，怎样让消费者知晓新产品，接受新产品？这就需要一种重要的营销手段——广告。
企业的销量主要有两个因素决定：一是企业所占的市场份额；二是产品的销量。影响这两个因素的主要是产品的价格和企业的广告。广告投入决策是企业重要的决策之一。对企业而，广告具有良好的经济功能。作为企业一项重要的营销手段，广告不仅能够让更多的消费者知晓产品，指导消费者购买产品，还能提高企业的品牌声誉，增加销售量，同时，企业又能够根据需求状况安排生产，使企业产生长期的收益。因此，企业为了取得良好的收益，都会投入大量的广告费用。例如，在食品行业，特别是饮料行业，百事公司在中国投入“蓝色风暴”系列产品的广告耗资亿元[1]。广告的投入成本也是企业主要的成本之一。这样，确定未来一段时间内的最佳的广告投入，也就成为企业一个非常重要的决策。
对于最优广告投入的研究已经取得了丰硕的研究成果，并且有些研究成果已经成为企业做出广告投入决策时重要的参考依据。Vidale和Wolfe（1957）提出了广告销量的动态模型。这类动态广告模型称为VW广告模型。VW 模型假设企业的广告投入可以增加企业的销售量，运用最优控制方法对企业的广告投入决策进行了优化。Nerlove和Arrow（1962）提出了广告影响企业商誉的动态广告模型，这类动态广告模型又称为NA广告模型。NA广告模型假设企业的广告投入可以增加企业的商誉，企业的商誉可以增加产品的需求。以极大化企业的收益为目标，运用动态最优控制方法对企业的广告投入进行了优化。张勤生和孟广燕（2004）在消费者行为分析和广告作用原理分析的基础上，利用动态最优控制理论，研究了信息型广告和品牌广告投入比率的确定和广告的最优投入策略。Grosset和Viscolani（2009）在 NA广告模型中考虑了广告的投入对企业的商誉可能会产生负面作用，广告投入对商誉产生的负面作用的可能原因为企业的零售商进行的一些打折促销广告所引起的。他们研究发现，当副作用较小时，存在最优的广告投入决策，而一旦副作用足够大，那么不存在最优的广告投入。聂佳佳和熊中楷（2008）运用NA模型研究了广告影响需求下的垄断企业的定价和广告联合决策模型。Xiong和Nie（2009）、聂佳佳和熊中楷（2006，2009）、熊中楷等（2009）以及聶佳佳等（2008）研究了广告影响需求下的价格和广告联合决策模型。
上述广告投入策略都是在广告投入预算没有约束的情况下获得最佳的广告投入策略。然后，在实际中，企业用于广告的投入不能无限大，都存在预算约束。Sethi（1977）研究了广告预算约束的问题。他发现，预算约束较大时，不会影响企业的广告投入决策，但是预算约束较小时，会影响企业的广告投入决策。可见，在企业确定最优广告投入决策时，不能够忽略预算约束的影响。本文将考虑预算约束的影响和产品价格外生时，在给定的计划周期内，以极大化企业的收益为目标，建立广告投入的最优控制模型，求解最优的广告投入策略，为企业决策提供参考。
1 模型描述
图1给出了不同阶段的广告策略。
从图中可以看到，销售阶段开始时，由于产品的商誉较低，因此，企业必须投入较多的广告，迅速地提高产品的商誉，以增加产品的需求量。随着销售周期的延长，市场逐渐成熟，企业可以逐渐的减少广告的投入量，以减小由广告投入带来的成本。利用这个最优的控制策略，通过式（3）就可以计算出计划周期内的最大总利润为8703.4597。
4 结论
由于受传统广告模型结论的影响和缺乏实证性分析，许多企业将广告的投入量视为一个常数值，在进行广告投入决策时，没有考虑广告的对需求和收益的长远影响。本文研究了在企业产品价格外生时的动态最优广告投入策略，考虑了广告投入的长远影响。建立了以广告投入策略为决策变量的最优控制模型，并且考虑了企业的预算约束。利用极大值原理得到了计划周期内的最优的广告投入策略。最后，给出了一个数值算例，验证了模型的合理性。