摘要：
永磁游标直线电机（linear permanent magnet vernier motor，LPMVM）依靠磁场调制原理工作，其电枢开槽引起气隙磁导变化，为考虑齿槽效应的影响，将其气隙磁场等效为无槽气隙磁场与有槽时气隙相对磁导函数共同作用结果。用气隙磁导波法分析其基本工作机理，给出结构关系式。用分层模型法建立无槽LPMVM求解场域矢量磁位解析模型，推导出各区域磁场解析表达式。结合气隙相对磁导函数建立考虑齿槽效应时的LPMVM磁场解析模型，计算出考虑齿槽效应时气隙磁密分布曲线。解析解与有限元解结果表明：无槽时气隙磁密在切向分量和法向分量计算准确，考虑齿槽效应后基于气隙相对磁导函数的磁场解析模型适用于求解气隙磁密法向分量，且主要谐波磁场与永磁体极对数和电枢绕组极对数有关。
关键词：永磁游标直线电机；磁场调制；气隙相对磁导；解析模型；有限元法
DOI：10.15938/j.emc.2017.10.008
中图分类号：TM 359.4
文献标志码：A
文章编号：1007-449X（2017）10-0054-08
传统永磁直线同步电机（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）以其优异性能在直驱场合具有广阔的应用前景[1-3]，其不可避免也存在一些缺点，如直线电机行程有限，人们希望电机动子速度更低一些，常降低电源频率使电机低速运行，但在低频情况下电机性能变差[2]，而增加电机定子绕组极对数降速时电机体积又会增大。为了在较高频率下获得低速大推力，提高电机性能，需对电机结构进行改进。
为了获得低速大转矩，AkioToba等[4]最早提出一种表面转子式永磁游标电机（permanent magnet vernier motor，PMVM），它基于磁场调制理论。近几年来，一些学者已将其应用于电动汽车、风力发电等低速直驱系统中[5-7]。
Vernier一词的中文翻译是“微调，游标卡尺”之意，在物理学中表示可以测量微小长度，以提高精确度。Vernier电机一词在电机中目前未有明确的专业术语，按意思可直译为游标电机[8-9]，根据其作用原理可译为磁场调制，因此永磁游标电机又可称为磁场调制式永磁电机。磁场调制基本原理是利用电枢开槽调制永磁磁场和电枢磁场，产生起主要作用的高次谐波磁场，从而使电机在低速下稳定运行。
对于永磁游标直线电机（linear permanent magnet vernier motor，LPMVM）的研究，结构形式较多，研究方法目前以磁路法和有限元法为主[9-14]。文献[10-11]采用能量法对一台混合励磁LPMVM性能进行了研究，其结构类似变压器，采用集中绕组，该电机主要用于波浪能发电场合。文献[12]提出一种混合励磁分段次级LPMVM，定子齿表面放置永磁体，动子为分段间隔铁心调制永磁磁场，采用等效电路法和有限元法分析电机性能。文献[9，13]采用等效磁路法分析了一台初级永磁型游标直线电机（linear primary PM vernier，LPPMV），结构为初次级均开槽，初级齿上放置永磁体，有限元结果表明该电机在低速运行时具有推力密度大、磁阻力小的优点。文献[14]提出一种圆筒形直线磁齿轮，采用双动子结构形式，通过调磁环调制磁场使双动子分别以高低速度运行。
以上文献多数结构为定子齿上放置永磁体，磁路法为解析方法，用气隙磁导波考虑齿槽效应的影响，虽清楚说明了电机工作原理，电磁参数解析式用磁路磁导直观表示，但气隙磁导波法求解磁场准确度不高，而气隙相对磁导函数能更准确地考虑开槽后高次谐波磁导对气隙磁场的影响[15-16]。与上述文献结构不同，本文提出研究一种新型LPMVM，定子轭上放置永磁体、电枢为动子，结构更加简单，采用分层模型法结合气隙相对磁导函数准确计算LPMVM磁场分布。LPMVM能在中高频率和不增加定子绕组极对数条件下低速运行，可用于风力发电、波浪能发电、低速直驱运动等场合。
本文首先用气隙磁导波法分析LPMVM工作机理，根据LPMVM结构，建立电机磁场分层模型。将其气隙磁场等效为无槽气隙磁场与有槽时气隙相对磁导函数之积，采用分层模型法求解各区域矢量磁位方程，推出无槽LPMVM永磁磁场、电枢磁场各区域解析表达式，根据气隙相对磁导函数建立考虑齿槽效应时的LPMVM磁场解析模型，对比分析磁场的解析解和有限元解，并探讨解析模型的适用范围及其谐波磁场。
1LPMVM工作原理
1.1电枢开槽时气隙磁导波
仅定子电枢开槽，动子光滑时，每个齿下气隙磁导波曲线以一个齿距为周期，对其在一个齿距内傅立叶级数展开，坐标原点取在齿中心，气隙比磁导为[17]
Λδ（θ）=Λ0+∑n1Λncosnz1θ。（1）
式中：Λ0為定子有齿、动子光滑时的气隙平均比磁导，z1为定子齿数，θ=πpτx为气隙位置处的角位移，p为电枢绕组极对数，τ为电枢绕组极距，x为气隙处位置，Λn为定子有齿、动子光滑时的气隙比磁导n次谐波。
1.2永磁磁势
永磁磁势为一矩形波，若永磁体为动子，当磁极中心线与坐标原点重合，经傅里叶分解可表示为
Fpm（θ，t）=∑vv=1，3，…Fpm1vcos[vppm（πpτv2t-θ）]。（2）
式中：Fpm1为永磁体基波幅值，ppm为永磁体极对数，v2为动子速。
1.3永磁磁密
只取基波、忽略高次谐波磁场，永磁磁密为：
Bpm（θ，t）=Fpm（θ，t）Λδs（θ）=
Fpm1Λs0cosppm（πpτv2t-θ）+
Fpm1Λs12cos[（z1-ppm）θ+ppmπpτv2t]。（3）
式中：若z1-ppm=±p，则第一项为永磁体产生的谐波磁场，次数为ppmp=z1p±1，第二项为永磁体产生的基波磁场。
为了产生稳定推力，定子绕组磁场极对数及速度必须等于永磁体产生的磁场极对数及速度，即结构上满足以下条件
z1-ppm=±p。（4）
速度上满足以下条件
ppmπpτv2|z1-ppm|=wp。（5）
式中：w为定子角频率，w=πv1/τ，v1为行波磁场同步速。
由式（4）、式（5）得动子速大小：
v2=v1ppm/p。（6）
由式（6）知动子速与定子磁场同步速和永磁体极对数有关，定子磁场同步速为动子速的ppm/p倍，从而实现低速运行。
1.4与传统PMLSM结构及原理对比
根据相对运动原理，若永磁体为定子，则电枢铁心以低速运行。由以上理论分析，LPMVM结构如图1（a）所示，定子上放置有效极对数为10的永磁体，动子电枢齿数12齿，电枢极对数为2，因此结构满足式（4）。与图1（b）传统整数槽2对极PMLSM相比，结构、工作原理不同。结构上传统PMLSM定子极对数等于永磁体极对数才能产生稳定推力，而LPMVM定子极对数、定子槽数、永磁体极对数之间要满足结构约束式（4）才能产生稳定运行。原理上传统PMLSM中工作磁场主要为基波磁场，动子以同步速运行，而LPMVM中工作磁场主要为ppm/p次谐波磁场，且动子运行速度为式（6），低于同步速。
2无槽LPMVM磁场解析模型
磁路法清晰说明了LPMVM工作原理，LPMVM结构特殊，气隙大、磁路复杂，为准确得到其磁场分布，用分层模型法解析磁场。
2.1无槽时永磁体单独作用解析模型
建立无槽LPMVM的分层模型，如图2所示，包括四个求解区域1、2、3、4，分别对应定子轭、永磁体、气隙、动子轭区域。对分层模型做如下假设：1）以一对极为求解区域，忽略端部效应；2）永磁体在各方向上磁导率相同且等于空气磁导率；3）铁轭的磁导率为无穷大；4）磁路不饱和。
2.3无槽时合成气隙磁密解析
无槽时合成气隙磁密为永磁体单独作用磁密和电枢绕组单独作用磁密的叠加，主要取气隙区域中心处合成磁密，根据式（13）、式（17）得：
B3x_nos（x，y）=B3x_nos_pm（x，y）+B23x_nos_am（x，y），
B3y_nos（x，y）=B3y_nos_pm（x，y）+B23y_nos_am（x，y）。（18）
由2.1～2.3节推出的磁密公式知，解析式综合计及了结构参数、各次谐波对磁密的影响，具有簡捷、直观的特点，且所建立的无槽解析模型同样能应用于传统PMLSM磁场求解，适用性广。
3考虑齿槽效应时磁场解析模型
3.1气隙相对磁导函数分析模型
以一槽为分析模型，假设槽为无限深（实际上只要槽深大于槽宽就可近似为无限深），齿宽与气隙之比大于3.3，槽宽与齿距之比较小，即忽略相邻槽之间的影响[17]。用许-克变换法[15-16]将复平面z经过w复平面、t复平面两次变换后得到气隙相对磁导函数。气隙相对磁导函数在整个电机长度上以齿距为周期呈周期性变化，对其进行傅里叶分解得到[15]
式中β（y）为非线性函数[16]。
由以上分析知，气隙相对磁导函数与槽宽、齿距、永磁体高、气隙长度有关，槽宽越大齿槽效应越明显。根据式（19）得到场域中以A相绕组轴线为中心，沿y方向，气隙中心线、齿槽表面、永磁体表面不同位置处的气隙相对磁导曲线如图4，由图知随着气隙增大，气隙相对磁导最大值与最小值之差逐渐减小，即齿槽效应逐渐减小。
3.2考虑齿槽效应时的气隙磁场分析
考虑齿槽效应时气隙磁场为无槽气隙磁场与气隙相对磁导函数的乘积，根据式（13）、式（17）、式（18）和式（19）得到考虑齿槽效应的气隙磁密为：
由图7知两种方法拟合较好，可见由于电枢反应，无槽合成气隙磁密波形与无槽永磁磁密波形存在稍微变化，但变化不大，原因为直线电机气隙较大，电枢反应影响较小。
4.2考虑齿槽效应时气隙磁密计算
根据由式（22）、式（23）、式（24）得考虑齿槽效应时气隙中心线处合成气隙磁密解析解和有限元解对比如图8所示。
由图8知，考虑齿槽效应时的气隙磁密较好反映了齿槽效应在空间位置上对气隙磁场影响。由于磁场调制作用，永磁磁密周期调制为一对定子极距，此时气隙磁密在y方向上计算较准确，x方向上却存在偏差。位于磁极之间交界处存在磁密尖峰，原因为永磁体极对数较多，磁极与电枢齿边缘相互作用产生聚磁效应造成的。与传统PMLSM磁密波形不同，传统PMLSM中永磁体极对数较少，x方向上磁密要小于LPMVM中x方向磁密，以致PMLSM中x方向磁密尖峰现象并不明显。因此基于气隙相对磁导函数的磁场解析模型宜用于求取y方向气隙磁密。图8（c）中合成气隙磁密综合计及了电枢反应、齿槽效应的影响，与空载时永磁磁密图8（a）相比，因电枢反应影响小波形略有变化。解析解和有限元结果的一致性表明了解析模型的可行性。
4.3谐波分析
图9为沿y方向永磁磁密、电枢磁密谐波分析，可以看到永磁磁密5次谐波幅值较大，电枢磁密中同样存在较大5次谐波，因此LPMVM中起主要作用的为ppm/p=5次谐波，与式（3）分析一致。
5结论
1）用气隙磁导波法分析了LPMVM基本工作原理，建立了无槽和考虑齿槽效应时的LPMVM求解场域矢量磁位解析模型。
2）解析解和有限元解结果表明：无槽时气隙磁密在切向分量和法向分量计算正确，无槽解析模型通用性广，对传统PMLSM磁场求解同样适用。考虑齿槽效应后气隙磁密法向分量拟合较好，而在切向分量上存在偏差，因此基于气隙相对磁导函数的磁场解析模型适用于求解气隙磁密法向分量。
3）与传统PMLSM不同，LPMVM磁极较多，永磁体与电枢齿槽相互作用使磁极极间处呈现磁密尖峰，且气隙磁密切向分量较大。
4）LPMVM中起主要作用的为ppm/p次谐波，是其能低速运行的主要原因。
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（编辑：贾志超）