摘 要：齿层比磁导法是目前步进电机电磁转矩的主要计算方法，提出了一种新型电磁转矩分析计算方法—齿层计算转矩法。首先给出步进电机齿层计算转矩的概念，同时在理论上证明了采用齿层计算转矩法计算步进电机电磁转矩的正确性，然后给出了齿层计算转矩法用于步进电机电磁转矩及其他性能分析计算的步骤，最后针对磁阻式步进电机和混合式步进电机，分别采用齿层比磁导法、齿层计算转矩法和电磁场有限元法进行对比研究。结果表明，齿层计算转矩法与现在通用的齿层比磁导法相比具有简单实用、计算精度高的特点。
关键词：步进电机；齿层计算转矩；齿层比磁导；电磁场有限元法
中图分类号：TM 383.6
文献标志码：A
文章编号：1007-449X（2018）05-0011-08
Abstract：Toothlayer specific permeability method is so far the main method for calculating of electromagnetic torque in stepping motors， a novel method for the analysis and calculation of electromagnetic torque was proposed which is called the toothlayer calculated torque （TLCT） method. The concept of TLCT was defined firstly and its correctness when used to calculate the electromagnetic torque was proved theoretically at the same time. Then the way to use the TLCT method in calculating electromagnetic torque and other performance parameters in stepping motors was described. Finally， a comparative research among the toothlayer specific permeability method， the TLCT method and the finite element method （FEM） was carried out， with results showing that the TLCT method is characterized by being simple and practical as well as high accuracy compared with the toothlayer specific permeability method.
Keywords：stepping motor； toothlayer calculated torque； toothlayer specific permeability； finite element method
0 引 言
步进电机特别是混合式步进电机具有体积小、性价比高、可靠性好、运行平稳、定位准确、易于控制的优点，自上世纪60年代问世以来，获得了工业自动化领域的青睐，并迅速发展。但是，混合式步进电机增加了轴向充磁的永磁体，使得电机中磁场呈三维分布，永磁体产生磁场与定子绕组电流产生磁场共同经由电机齿层区域形成闭合回路，使得齿层区域饱和十分严重，且由于定、转子铁心叠片之间绝缘层的磁阻较大，导致气隙和齿层的磁场沿电机轴向非均匀分布，磁路非常复杂[1-3]，对其分析计算成为研究的热点和难点。
步进电机的分析计算可以采用解析法、场路结合分析方法和电磁场有限元分析方法[4]。解析法计算精度不够高，难以考虑铁心饱和等影响[5]；对于混合式步进电机，三维电磁场有限元分析方法可以使计算结果达到非常高的精度[6]，但每完成一次仿真计算需要耗费大量时间，在产品开发中并不具有实用性；场路结合分析方法只对电机中磁场变化最为剧烈的气隙及齿层区域磁场进行二维电磁场有限元求解，其他部分则采用磁路的方法求解[7-9]，由于其计算精度相对较高、耗时少而成为步进电机设计分析的首选方法。
齿层比磁导法是一种典型的场路结合分析计算方法[10]，主要包括以下4个步骤：齿层磁参量的计算[11]，齿层磁参量数据库的建立，非线性等值磁网络的建立与求解[12]，步进电机电磁转矩及其他性能和参数的计算。这一方法中，重点是采用电磁场有限元法，计算如图1所示的由电机定子齿、气隙和转子齿构成的齿层的磁参量（齿层磁压降、齿层磁通和齿层磁共能），并建立齿层在不同结构尺寸下的磁参量数据库；非线性等值磁网络的建立与求解则是实现场路结合的关键。
齿层比磁导法仍然存在不足，其最为严重的不足在于电磁转矩的计算，即先通过求解非线性等值磁网络得到电机各支路磁压降和磁共能，进而得到电机整体磁共能，并将磁共能随转角的变化率作为电磁转矩的值。可见，根据电机整体磁共能求解电磁转矩涉及到一個对转角求导的过程，即使所求电机整体磁共能与实际值偏差较小，也会因经过一步求导而将误差放大。由于混合式步进电机磁场分布极为复杂，很难建立该种电机准确的非线性等值磁网络模型，因而无法准确计算电机整体磁共能，则计算所得电磁转矩与实际值相比会产生较大的偏差，导致矩角特性波形发生较为严重的畸变。
本文基于上述齿层比磁导法提出了一种步进电机新型电磁转矩计算方法—齿层计算转矩法，该方法避免了齿层比磁导法中电机整体磁共能对转角的求导，具有方法简单、计算精度高的特点。本文第2部分从理论上证明了齿层计算转矩法用于步进电机电磁转矩计算的正确性，第3部分给出了该方法用于步进电机电磁转矩计算及其他性能参数的分析计算步骤，第4部分针对磁阻式步进电机和混合式步进电机，分别采用齿层计算转矩法、齿层比磁导法及电磁场有限元法进行电磁转矩的计算比较，进一步证明了所提出的齿层计算转矩法的正确性、简便性和高计算精确性。
1 齿层计算转矩法的提出及证明
步进电机是一个复杂的闭合磁路系统，由多齿层、多磁动势源及其他磁路相互串并联构成，下面从简化的步进电机入手，逐步过渡到实际的步进电机，提出求解步进电机电磁转矩的齿层计算转矩法，并给出理论分析证明。
1.1 具有单一齿层的步进电机电磁转矩计算
假定电机1由单一磁动势源、单一齿层及其他任意无源磁路（即齿层外磁路，简称外磁路）构成，电机2仅由单一磁动势源和单一齿层构成，且两台电机具有完全相同的齿层结构及尺寸。假定两电机具有相同的初始齿层位置和齿层磁压降，保持此齿层位置时的两电机磁动势源不变，并转过相同的齿层角度，则在这一齿层位置变化过程中，电机1产生的电磁转矩可由电机2产生的电磁转矩等效。
图2为描述两台电机的等效磁路，其中Geq为电机1中外磁路的等效磁导，其上磁压降以Feq表示，Gt为两电机齿层磁路的磁导（由于两电机齿层相同且齿层位置在变化前后均相同，因此以相同的磁导Gt表示），F1和F2为两电机外加磁动势源，1和2分别为两电机磁通。
通过以上分析可看出，在齿层位置变化过程中，两电机具有近似相同的磁共能变化量，由于磁共能变化量对齿层位置角变化量的比值即为电机在这一变化过程中产生的电磁转矩，因此，在齿层位置变化过程中，电机1产生的电磁转矩可由电机2产生的电磁转矩等效。对这一结论需要特别指出：
1）电机1产生的电磁转矩可以由与电机1具有完全相同齿层的电机2产生的电磁转矩等效，而电机2只有齿层磁路，无外磁路，即只有齿层磁路磁共能变化产生的齿层转矩，故将电机2的转矩称为电机1的齿层计算转矩，显然电机1的齿层计算转矩与其实际齿层转矩不同，前者为电机1的总转矩，既包含其实际齿层转矩，又包含其外磁路磁共能变化所产生的电磁转矩。
2）电机1外磁路无论饱和与否，上述结论都成立。即电机1的电磁转矩在任何情况下都可用其齿层计算转矩来代替。实际上，在步进电机齿层变化过程中，如果外磁路不饱和，则外磁路磁共能变化产生的电磁转矩相对较小，相对于齿层磁共能变化产生的齿层转矩可以忽略不计，电机的总转矩近似等于其齿层实际转矩，但当外磁路饱和时，电机的总转矩只能以电机的齿层计算转矩等效，而不能用其齿层实际转矩等效。
1.2 具有多个串联齿层或并联齿层的步进电机电磁转矩计算
对于步进电机多个齿层串联的情况，很容易用1.1节给出的结论进行论证，在此重点对多个齿层并联的步进电机（以两个齿层并联为例）进行论证。假定步进电机1由单一磁动势源、两个并联齿层及外磁路构成，电机组2包括两个步进电机，每个步进电机均由单一磁动势源、单一齿层构成，且电机1与电机组2的对应齿层完全相同。假定电机1和电机组2的各个对应齿层分别具有相同的初始齿层位置和齿层磁压降，且保持此初始位置时电机1和電机组2的磁动势源恒定不变，两者同时转过相同的齿层角度，则在这一齿层位置变化过程中，电机1产生的电磁转矩可由电机组2产生的电磁转矩之和等效。
为了将不确定性的磁路系统等效为确定性的磁路系统，在此引入了“计算并联外磁路”的概念，图6为引入“计算并联外磁路”后的电机1的并联等效磁路，其中，计算并联外磁路的磁导分别表示为geq1、geq2，这一计算并联外磁路的建立基于以下原则：
1）计算并联外磁路与实际并联外磁路各支路的磁通和磁压降在电机1初末位置时均相同；
2）计算并联外磁路的磁共能之和与外磁路总的磁共能在电机1处于任何状态时完全相同。
图7为电机1外磁路及计算并联外磁路的磁通磁动势Φ-F曲线，其中曲线OAB、OCD分别为电机1计算并联外磁路支路1和支路2的Φ-F曲线。电机1计算并联外磁路的Φ-F曲线建立过程如下：首先根据上述原则（1）确定计算并联外磁路的初末位置工作点；然后用任意曲线将磁路工作原点、初位置工作点、末位置工作点3点进行连接，并使得所有曲线下方面积关系满足上述原则（2）。
电机1外磁路初末位置工作点分别对应图7中的a、b点，计算并联外磁路支路1初末位置工作点分别对应图7中的A、B点，计算并联外磁路支路2初末位置工作点分别对应图7中的C、D点，则满足：
同时，在电机1处于任何状态时，曲线Oab下方面积等于曲线OAB与曲线OCD下方面积之和。
基于1.1，很容易得出：电机1齿层变化产生的电磁转矩等于电机组2各电机产生的电磁转矩之和。电机组2中各电机的电磁转矩分别称为电机1相应齿层的计算转矩，因此电机1的电磁转矩就是电机1中各个齿层的计算转矩之和。若电机1的外磁路中含有齿层磁路，可用同样的方法进行论证，在此不再赘述。
参照上述所有推导过程及相应结论，对于由多个磁动势源、多个齿层与外磁路串并联构成的实际步进电机，其电磁转矩仍可由齿层计算转矩等效，这一电磁转矩计算方法称为步进电机的齿层计算转矩法。
2 齿层计算转矩法在步进电机电磁转矩计算中的应用
齿层计算转矩法在应用于步进电机电磁转矩计算时，主要包括以下步骤：齿层磁通及齿层计算转矩的计算；齿层磁通及齿层计算转矩数据库的建立；非线性等值磁网络模型的建立与求解；电机电磁转矩及其他电机性能和参数的计算。下面以一实例来说明应用齿层计算转矩法计算步进电机电磁转矩的步骤。
对于每一组齿层磁通曲线族均可非常容易地建立相应的齿层计算转矩曲线族，换言之，建立了齿层比磁导法中的齿层磁通数据库也就相当于建立了齿层计算转矩数据库。
基于齿层磁通数据库和齿层计算转矩数据库，建立并求解步进电机非线性等值磁网络模型，通过各个齿层支路磁压降数值查找齿层计算转矩数据库以得到齿层计算转矩，并根据各个齿层计算转矩方向与电磁转矩方向的关系确定齿层计算转矩的正负，最后将所有齿层计算转矩直接相加即可得到电机的总电磁转矩。
可以看出，齿层计算转矩法和齿层比磁导法都需要求解非线性等值磁网络模型，但是，前者只需根据齿层磁压降查找齿层计算转矩数据库便可直接得到步进电机的电磁转矩；后者需要计算包括齿层在内的电机所有磁路的磁共能以得到电机整体磁共能，并将电机整体磁共能对转角求导才可得到电磁转矩，其中齿层部分磁共能由齿层磁压降查找齿层磁共能数据库得到，而其他部分磁路的磁共能则是根据各磁路磁压降由解析法求得。显然，在计算步进电机电磁转矩时，齿层计算转矩法不但简单，而且具有更高的计算精度。
3 齿层计算转矩法仿真实验验证
相比于混合式步进电机，磁阻式步进电机结构更为简单，且只有沿径向圆周平面分布的磁场，无需添加任何经验系数便能够建立其较为准确的非线性等值磁网络模型，计算结果客观准确。因此，首先以磁阻式步进电机为例来验证齿层计算转矩法，并对齿层计算转矩法、齿层比磁导法及二维有限元法计算所得电磁转矩结果进行比较。进一步针对混合式步进电机，将齿层计算转矩法与三维有限元法计算所得电磁转矩结果进行比较。
3.1 磁阻式步进电机齿层计算转矩法的仿真验证
1）采用二维有限元法（2-D FEM）计算齿层磁压降的电机齿层计算转矩法（TLCT）。
采用二维有限元法对样机电机进行计算（铁心迭长设为1 m），分别得到其在不同转子位置角α下的电机整体电磁转矩及各个齿层磁压降数值，同时根据齿层磁压降数值查找齿层计算转矩数据库（在此特指根据本样机电机齿层尺寸计算得到的如图8（b）所示的齿层计算转矩曲线族）得到各个齿层计算转矩，并根据齿层计算转矩法计算得到电机整体电磁转矩，计算结果如表2和表3所示。
可以看出，由于对电机整体进行有限元计算可得到准确的齿层磁压降数值，根据这一准确的齿层磁压降数值查找齿层计算转矩数据库所得到的电机电磁转矩与电磁场有限元法直接得到的电磁转矩几乎完全相同，由此验证了所提出的齿层计算转矩法原理的正确性。
2）基于非线性等值磁网路模型的电机齿层计算转矩法（TLCT）。
建立并求解样机的非线性等值磁网络模型以得到各个齿层的磁压降数值，分别采用齿层计算转矩法和齿层比磁导法计算电机的电磁转矩，并与采用二维有限元法计算所得电磁转矩进行比较，如图9所示。可以看出，由于求解非线性等值磁网络模型得到的齿层磁压降与电机实际的齿层磁压降（可看作是由上述二维有限元法计算得到的齿层磁压降）有所差别，因此查找齿层计算转矩数据库得到的电机电磁转矩与有限元计算结果有一定的误差，但是这一误差远小于根据齿层比磁导法计算电磁转矩所产生的误差，也就是说，齿层计算转矩法的计算精度远高于齿层比磁导法。
3.2 混合式步进电机齿层计算转矩法的仿真验证
混合式步进电机样机为2相8极外转子电机，其主要结构尺寸如表4所示。只采用单相通電方式，且定子A相绕组电流磁动势大小为FA=36 A，齿层计算转矩法计算所得电磁转矩与三维有限元仿真计算所得结果进行比较，如图10所示。可以看出，对于混合式步进电机，采用齿层计算转矩法计算电机的电磁转矩同样具有很高的精度。
需要说明的是，对于混合式步进电机，由于定、转子铁心叠片之间绝缘层磁阻的影响，电机气隙及齿层磁场沿轴向分布不均匀，且定、转子铁心中的磁场分布极为复杂，因而较难准确建立其非线性等值磁网络模型。对于齿层比磁导法而言，需加经验系数以保证计算精度，因此对混合式步进电机，没有将齿层计算转矩法与齿层比磁导法进行比较，仅与三维电磁场有限元法进行比较。值得注意的是，齿层计算转矩法计算电磁转矩的精度仅取决于建立和求解非线性等值磁网路模型时得到的电机齿层磁压降的数值和精度，而与电机其他部分磁路磁压降大小和精度无关，因此只需以准确计算电机齿层磁压降为目标建立和求解电机非线性等值磁网络模型即可，具体建立方法将在后续文章中叙述，在此只给出了最终计算结果。
4 结 论
1）通过上述步进电机新型电磁转矩计算方法—齿层计算转矩法的提出、证明及比较验证，得到以下结论：齿层比磁导法是目前步进电机基于场路结合的主要分析方法，基于该方法可进行步进电机电磁转矩和性能及参数的分析与计算。本文提出齿层计算转矩法求解电机的电磁转矩，这一方法首先基于齿层比磁导法中建立的齿层磁通数据库，建立齿层计算转矩数据库，然后建立和求解非线性等值磁网络模型，通过求得的齿层磁压降数值直接查找齿层计算转矩数据库而得到电机的电磁转矩。
2）齿层计算转矩法是通过非线性等值磁网络求得的齿层磁压降数值直接查找齿层计算转矩数据库而得到电磁转矩，因此步进电机电磁转矩计算精度只决定于齿层磁压降的计算精度，与电机其他磁路磁压降的计算精度无关；而齿磁比磁导法计算所得电磁转矩大小不但受齿层磁压降而且受其他磁路磁压降的计算精度影响，同时，根据电机各磁路磁共能得到电机整体磁共能并对转角进行求导也极大地影响到电磁转矩的计算精度。因此，本文提出的齿层计算转矩法在计算步进电机电磁转矩时，不但简单方便，而且具有更高的计算精度。
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（编辑：张 楠）